エッジ検出（Sobel や ラプラシアン）の正体は、結局 「隣との差」＝微分だよ。難しい 2 次元に行く前に、横一列の明るさ f(x) でいちばん素の形を見ておこう。

各点で Δf(x) = f(x) − f(x−1)（隣との差）を取ると、平らな所では 0、明るさが急に変わる所で大きくなる。その「大きい所」がエッジだ。連続関数の微分 df/dx を、格子の上では 差分 で近似している、ということになるね。