声道ラボの中身 ── 波動方程式から、伝達行列でフォルマントを解く（発展編）

前編 で、母音は声道という「太さの変わる管」が選ぶ共鳴（フォルマント）だと分かった。一様な約 $17.5\,\mathrm{cm}$ の管なら、目安で $500/1500/2500\,\mathrm{Hz}$。じゃあ、太さが場所ごとに変わる 任意の形 の管の共鳴は、どう計算するのか。

それをやっているのが声道ラボ（の中の数式）だ。一見すると行列やら複素数やらが出てきて難しそうに見える。でも 一個ずつ分解していくと、部品はどれも素朴 なんだ。順番にほどいていこう。最後には、小さな $N$ で自分で解けるソルバも触れる。

① 音の波動方程式 ── 2本の素直な式

ここではまず、断面積 $A$ が一定の短い区間 を1つ取り出して考える。声道全体のように $A$ が場所で変わる管は、あとで「この短い一様管をたくさん繋いで近似する」（③）。まずは1区間ぶんだ。

まず音そのものを式にする。管の中の音は、2つの量で測る。

• 圧力 $p(x,t)$：その場所の圧力が、大気圧からどれだけずれているか。
• 体積速度 $U(x,t)$：その断面を、1秒あたり何 $\mathrm{cm^3}$ の空気が通り抜けるか（粒子速度 × 断面積 $A$）。

この2つは、2本の素直な式で結ばれている。1本目はニュートンの運動方程式（圧力の坂が空気を加速する）、2本目は質量保存（空気が集まれば圧力が上がる）：

$\frac{\partial p}{\partial x} = -\frac{\rho}{A}\frac{\partial U}{\partial t}, \qquad \frac{\partial U}{\partial x} = -\frac{A}{\rho c^2}\frac{\partial p}{\partial t}$

$\rho$ は空気の密度、$c$ は音速。この2本から $U$ を消すと、見慣れた 1次元の波動方程式 が出てくる：

$\frac{\partial^2 p}{\partial x^2} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 p}{\partial t^2}$

これは「$x$ 方向の曲がり具合 ＝ 時間の加速度 ÷ $c^2$」という式で、解は 右へ進む波と左へ進む波の重ね合わせ $p = p_{+}(x-ct) + p_{-}(x+ct)$。前編でやった進む波・定在波が、ここから出る。電気で言えば送電線（伝送線路）の式とまったく同じ形だよ。

② 一様な管 ＝ 1枚の2×2行列

次に、太さ $A$・長さ $\ell$ が一定の 一様な管を1本 とり出す。その中は右行き波と左行き波の和だから、入口 $(p_{in}, U_{in})$ と出口 $(p_{out}, U_{out})$ の関係を整理すると、ぴったり 2×2行列 にまとまる：

$\begin{bmatrix} p_{in} \\ U_{in} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos k\ell & jZ\sin k\ell \\ \dfrac{j}{Z}\sin k\ell & \cos k\ell \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_{out} \\ U_{out} \end{bmatrix}, \qquad k = \frac{2\pi f}{c},\quad Z = \frac{\rho c}{A}$

これが 伝達行列（ABCD行列）。名前は厳しいけれど、中身は4つの数しかない。一個ずつ見れば素朴だ。

• $k\ell$ は、その管1本を波が通るあいだに位相がどれだけ回るか（長さ ÷ 波長 × $2\pi$）。
• 対角の $\cos k\ell$ は「同じ量（$p\to p$、$U\to U$）がどれだけ素通りするか」。
• 非対角の $jZ\sin k\ell$ と $\frac{j}{Z}\sin k\ell$ は「$p$ と $U$ が互いに化ける」量。$j$（虚数）は時間的に90°ずれることを表す。
• $Z=\rho c/A$ は管の 特性インピーダンス。細い管ほど大きい。式に $A$ は $Z$ を通してしか入らないので、効くのは断面積の比だけ ── 全体を一律に太くしても共鳴は動かない、という前編の注意は、ここから来ている。ただしこれは、この損失なしモデルで“フォルマント周波数だけ”を見る限りの話。絶対的な断面積は、現実には音量・口からの放射・壁や粘性の損失・共鳴ピークの鋭さ（Q）には効いてくるよ。

要するにこの行列は「長さ $\ell$ の管を1本通ると、$(p,U)$ がどう変換されるか」を表す 写像 だ。送電線1区間の行列と同じものだよ。

行列って、ただの連立式の省略形

行列を知らなくても大丈夫。上の「箱」は、次の 2本の連立式を1つにまとめただけ なんだ：

$p_{in} = \cos k\ell \;\cdot\; p_{out} \;+\; jZ\sin k\ell \;\cdot\; U_{out}$

$U_{in} = \tfrac{j}{Z}\sin k\ell \;\cdot\; p_{out} \;+\; \cos k\ell \;\cdot\; U_{out}$

2×2の箱は、この4つの係数を並べた表にすぎない。「行列 × 縦ベクトル」という操作も、箱の各行を $(p_{out}, U_{out})$ と上から順に掛けて足す ── ただそれだけ。だからこの先で行列が出てきても、頭の中ではこの「2本の式」に戻して読めば、全部追える。むしろ式が増えると書くのが大変だから、箱に省略しているだけなんだ。

③ 声道 ＝ 行列のかけ算

太さの変わる声道は、短い一様管をたくさん繋いだもの とみなす。$N$ 個に輪切りにすれば、各輪切り $i$ に行列 $M_i$ がある。声帯側から唇側へ順に通り抜けるので、全体の写像は 行列のかけ算 で繋がる：

$M = M_1 M_2 \cdots M_N = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}$

「行列の積 ＝ 写像を連結する」── 1区間通して、次の区間に渡して、また次へ、を順に合成しているだけだ。$N$ がいくら大きくても、やっていることは素朴な掛け算の繰り返し。

$N=2$ を、代入だけで解いてみる

行列のかけ算とは、結局 一方の式をもう一方に代入していくこと なんだ。$N=2$（輪切り2個）で、行列を使わずに最後まで追ってみよう。$\cos k\ell_i = c_i$、$\sin k\ell_i = s_i$ と略す。

唇側の端を $(p_L, U_L)$ とする。唇に近い 区間2 は、さっきの2本の式そのままで、その値を区間1と2の境目 $(p_m, U_m)$ へ移す：

$p_m = c_2\,p_L + jZ_2 s_2\,U_L$

$U_m = \tfrac{j}{Z_2}s_2\,p_L + c_2\,U_L$

声帯に近い 区間1 は、この $(p_m, U_m)$ を声帯端 $(p_G, U_G)$ へ移す。$U_G$ の式に、上の $p_m, U_m$ を そのまま代入 する：

$U_G = \tfrac{j}{Z_1}s_1\,p_m + c_1\,U_m = \tfrac{j}{Z_1}s_1\big(c_2 p_L + jZ_2 s_2 U_L\big) + c_1\big(\tfrac{j}{Z_2}s_2 p_L + c_2 U_L\big)$

あとは展開して、$U_L$ にかかる係数を集めるだけ。$j\cdot j = -1$ が効くから、

$U_G = (\cdots)\,p_L + \underbrace{\Big(c_1 c_2 - \tfrac{Z_2}{Z_1}\,s_1 s_2\Big)}_{D}\,U_L$

この $U_L$ の係数こそが $D$ だ。難しい所はどこにもない ── 2本の式を代入して、係数を集めただけ。虚数も $j\cdot j$ で消えて実数になった。$N$ 個でも、この代入を $N-1$ 回くり返すだけ。それを「行列のかけ算」と呼んでいるにすぎないんだ。

下のソルバは、まさにこれを小さな $N$ でやっている。輪切りの断面積を動かすと、行列の積 $M$ が変わり、その $D(f)$ の谷が動く。

④ $D$ が極小 ＝ フォルマント

最後の一歩。なぜ $D$ なのか、なぜ「極小」なのか。

境界条件を入れる。声帯側は閉じた端（空気を送り込む源）、唇側は開いた端 で、圧力が外気とつながって $p_L \approx 0$。

ここで、さっき代入で出した $U_G$ の式を思い出そう。$p_L = 0$ とおくと、$p_L$ にかかっていた項がまるごと消えて、

$U_G = D\,U_L$

だけが残る。声帯の流れ $U_G$ を入れたとき、唇から出る流れ $U_L$ は、その $D$ で割ったもの ── だから声道の“通りやすさ”は

$\frac{U_{lips}}{U_{glottis}} = \frac{U_L}{U_G} = \frac{1}{D(f)}$

$1/D$ だ。だから $|D(f)|$ がゼロに近づく周波数で、通りやすさがとても大きくなる ── これが共鳴。この 損失なしモデルでは $|D|\to0$ で発散してしまう けれど、現実には放射・壁・粘性の損失があるので、無限大ではなく 有限の高い山 になる（その山がフォルマントの帯域だ）。その山の周波数が、低いほうから $F_1, F_2, F_3$。

$\boxed{\;\text{フォルマント} \;=\; |D(f)|\ \text{が極小になる}\ f\;}$

これは、音声処理でいう「ソース・フィルタモデル」のフィルタの極 とちょうど同じものだ。声＝声帯のブザー（ソース）× 声道というフィルタ、と分けたとき、声道フィルタの伝達関数は $H(f)=1/D(f)$。その 山（極）が立つ周波数＝$D$ の谷＝フォルマント。上のソルバで赤く印した谷が、まさにこの極なんだ。

「難しそうな式」の正体は、これで全部ほどけた ── 素朴な2×2を $N$ 回掛けて、$D$ の谷を探しているだけ。声道ラボは、君が形を動かすたびに、これを毎フレームやり直している。

⑤ 検算：一様管は $\cos kL$ に戻る

ちゃんと前編と地続きか、確かめておこう。管が 一様（全区間で $Z$ も $\ell$ も同じ）なら、さっきの $N=2$ の式で $Z_1=Z_2$、$\ell_1=\ell_2=\ell$ とおくと

$D = c^2 - s^2 = \cos^2 k\ell - \sin^2 k\ell = \cos 2k\ell = \cos kL \qquad(L = 2\ell)$

きれいに $\cos kL$ になった（区間をいくつに割っても、一様なら同じ）。$D=0$ すなわち $\cos kL = 0$ は $kL = \tfrac{\pi}{2}, \tfrac{3\pi}{2}, \tfrac{5\pi}{2}, \dots$、つまり

$f = \frac{c}{4L},\ \frac{3c}{4L},\ \frac{5c}{4L} \approx 500,\ 1500,\ 2500\ \mathrm{Hz}\quad(L \approx 17.5\,\mathrm{cm})$

前編の「片閉じの管は奇数倍の4分の1波長で鳴る」と、ぴったり一致する。重い伝達行列の機械も、管が一様なときは、あの素朴な式にちゃんと戻ってくる。ソルバで「一様（中性）」を押すと、$500/1500/2500/3500$ の谷が並ぶのが見えるよ。

まとめ

• 音は2本の素直な式（運動方程式＋質量保存）に従う。まとめると1次元の波動方程式。
• 一様な管1本は、$\cos$ と $\sin$ と特性インピーダンス $Z$ でできた 2×2の伝達行列 ＝ 写像。
• 声道は、その行列を声帯側から唇側へ 掛け算 したもの。$N$ が大きくても素朴な積の繰り返し。
• 境界条件から、声道の通りやすさは $1/D(f)$。だから この1次元・損失なしモデルでは $|D(f)|$ の谷＝フォルマント（＝ソース・フィルタモデルのフィルタの極。現実の損失では、谷の所が有限の山になる）。
• 一様管では $D=\cos kL$ に戻り、$500/1500/2500$。前編とちゃんと繋がる。

難しそうに見えた式は、分解すれば「素朴な部品の積み重ね」だった ── 一個ずつほどけば、ちゃんと手が届く。

このソルバは小さな $N$ の教材版。実際の母音に合わせて $N=44$ で解き、形をドラッグしながら音まで鳴らせる本格版が 声道ラボ だよ。そちらもどうぞ。

▶ 声道ラボ（N=44・音も出る）へ ↗

このモデルは声道を 1次元・損失なしの管 として近似している。唇の放射、壁の損失、鼻腔の結合、3次元の形は省いた。だから実測フォルマントを厳密に当てるものではなく、形と共鳴の関係 を見るための教材だよ。