源はポテンシャルを曲げる ── ポアソン方程式とラプラス方程式

前回 の終わりに、二つの式を並べて、そっと掛け合わせた。場はポテンシャルの 坂（$\vec{E}=-\nabla\phi$）。場の 湧き出し は、その場の源で決まる（$\nabla\cdot\vec{E}=\rho$）。重ねると、$-\nabla^2\phi=\rho$ ── 「坂の、さらに湧き出し」を測ると、源になる、という式だ。今日は、この一本を正面から見る。

言い換えると ── 前回は、場の 矢印 がどこで湧くかを見た。今回はその矢印を直接見るんじゃなくて、矢印を生んでいる地形（ポテンシャル）の、曲がり を見る。場が湧く場所は、ポテンシャルの地形ではどう見えるんだろう？ ── それが、今日の問いだ。

主役は $\nabla^2$（ラプラシアン）。名前は厳ついけれど、中身は拍子抜けするほど素朴だよ。

∇² は、地形の「曲がり」── まわりの平均との差

$\nabla^2\phi$ が、ある一点で何を測っているか。ひとことで言うと ── その点が、まわりの平均より、どれだけ低いか（高いか） だ。

地形のある一点に立って、すぐ隣の上下左右4方向を見回す。その4つの高さの平均と、自分の足元の高さを比べる。自分が平均より 低ければ（まわりに囲まれた谷なら）$\nabla^2\phi$ は正、高ければ（まわりから突き出た山なら）負。ちょうど平均と同じなら、ゼロ。それだけ。（ここでは $\nabla^2\phi$ を「まわりの平均 − まんなか」の向きで見ている。この約束だと、谷で正・山で負。数学の二階微分も、同じ“曲がり”を、別の書き方で測っているだけだよ。）

記号で書けば $\nabla^2\phi = \dfrac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2\phi}{\partial y^2}$（各向きの「坂の坂＝曲がり」を足したもの）だけど、噛み砕けば一言だ ── 「まわりの平均と、どれだけ食い違っているか」。これだけ持っておけば、この先ぜんぶ追える。

（ラボでは2次元の格子で見せるので、まわり＝上下左右の4方向の平均になる。3次元なら、前後も入れた“近くの平均”だ。連続のなめらかな世界でそれを書いた記号が $\nabla^2$ ── でも、いつでも「まわりの平均と比べる道具」と思えば十分だよ。）

ポアソン方程式 ── 源があると、平均からずれる

さて、$-\nabla^2\phi=\rho$ を、いまの言葉で読み直そう。きれいに書くと、これが ポアソン方程式 だ：

$\nabla^2\phi = -\rho$

（係数 $1/\varepsilon_0$ などは省いて、形だけ書いている。$\rho$ は源の密度＝その場所にどれだけ源が詰まっているか。）

日本語に直すと、こうだ。── 源のある所では、ポテンシャルがまわりの平均からずれる。源のない所では、ぴたりと平均に等しい。 式よりも、この二文 を持って帰ってくれれば、今日はそれで十分だよ。

＋の源があれば、その点はまわりより 高く 突き上がる（赤い丘）。−の源なら、まわりより 低く へこむ（青い井戸）。源がゼロの所は、上下左右の平均そのもの ── どこも出っ張らず、へこまず、なめらかに繋がる。④で回した3Dの地形を思い出すと、丘の天辺と井戸の底にだけ源がいて、あいだの斜面には源がなかった。あれは、このポアソン方程式が言っていることそのものだったんだ。

ひとつ、符号の手すりを。ここでは 正の源が山、負の源が井戸 になる ── これは 電場 のポテンシャルの符号で話している。重力は逆 で、ふつうの質量は 井戸 を作る（だから物は、重力の井戸へ落ちていく）。山と井戸の見え方は反転するけれど、「源があると、地形がまわりの平均からずれる」という骨は、まったく同じだよ。

触ってみる ── 地形が「落ち着く」

これは、動かすほうが断然はやい。下の 緩和ラボ は、各点が「まわり4方向の平均」へ、少しずつ落ち着いていく様子をそのまま見せる。

まず、＋の源を1つ置いてみて。 何もなかった平らな所が、源のまわりだけ、じわっと赤い丘に盛り上がっていく ── 地形が“落ち着いて”ポアソン方程式の答えに向かうところだ。次に、源をもう1つ、−で置く（源をクリックすると ＋⇄− が反転する）。丘と井戸が並んで、あいだがなめらかに繋がる。最後に、源を全部消して、枠（境界）を「左右に傾き」にしてみて。 源が一つもないのに、地形はちゃんと決まる ── 左の高い縁から右の低い縁へ、いちばん滑らかな“坂”が張られる。これがラプラス方程式（次の節）だよ。数式はいったん措いて、この3つを触れば ── 源のある場所では地形が平均からずれ、源のない場所ではまわりにならされていく ── が、目で分かる。

ラプラス方程式 ── いちばん滑らかな膜

源がどこにもない所だけを見ると、ポアソン方程式の右辺はゼロになる：

$\nabla^2\phi = 0$

これが ラプラス方程式。「どの点も、まわりの平均にぴたりと等しい」という条件だ。

この条件を満たす地形は、いちばん滑らかな膜 になる。針金の枠に張った石けん膜や、ピンと張った太鼓の革を思い浮かべてほしい。膜は、出っ張りもへこみも作らず、枠（境界）のあいだを最短の手間でなめらかに繋ぐ。源（指で押す力）がなければ、膜の形は枠だけで決まる。

面白い性質がひとつ。源がなければ、内側に山や谷はできない。 いちばん高い所も低い所も、必ず枠の上にある。だって、内側のどの点も「まわりの平均」なんだから、まわりより高い点なんて作りようがない。静かな場とは、そういう“出しゃばらない”地形なんだ。

この「まわりの平均に落ち着く」は、電場やポテンシャルだけの話じゃない。定常状態の温度 も同じだ ── 熱源のない板の温度は、各点がまわりの平均になるまでならされる（ラプラス）。熱源があれば、そこだけ平均からずれる（ポアソン）。画像処理 にも顔を出す：写真の欠けた所を、まわりとなめらかに繋がるように埋める“インペインティング”は、その領域でラプラス方程式を解いているのに等しい（いちばん滑らかな膜を張るのと同じこと）。ランダムウォーク でも ── ふらふら歩く点が、どちらの壁に先に着くかの確率は、各点がまわりの平均になる＝ラプラスを満たす。同じ「まわりの平均」が、熱でも、画像でも、確率でも、いちばん滑らかな答えを選んでいるんだ。

勘違いしないでほしいのは ── 源がないなら 何も起きない、という意味じゃないこと。源のない場所では、内側が 勝手に 山や谷を作らない、というだけ。地形そのものは、ちゃんと決まる ── ただし、それを決めるのは 枠（境界） のほうだ。だからラプラス方程式では、境界条件が主役 になる。

境界が、答えを選ぶ

ここで、次の回への伏線をひとつ。

ポアソン方程式 $\nabla^2\phi=-\rho$ は、源 $\rho$ を決めても、それだけでは答えが 一つに決まらない。同じ源でも、枠（境界条件） が違えば、地形は変わる。ラボで「ぜろ」と「左右に傾き」を切り替えると、同じ源でも地形がそっくり変わるのは、これだ。方程式は「各点はまわりの平均（＋源のぶんのずれ）」という 局所のルール を言うだけ。そのルールを満たす地形のうち、どれを選ぶかは、枠が決める。

これは、いままで何度か出会った景色とそっくりだ。④では、同じ場を「外から囲って数える（ガウス）」のと「中から源の返事を足す（グリーン）」の 二つの扉 で見た。今回も二つある ── ④で $\int \rho/r$ と 中から積み上げて 作った地形は、ここでは「各点がまわりの平均に落ち着く」という 局所のルール からも、まったく同じものが立ち上がる。積み上げる目と、ならす目。同じ地形への、別の入り口だ。

次回予告 ── 一発の返事で、解く

ポアソン方程式は、「解きたい形」がはっきりした。

$\nabla^2\phi = -(\text{源})$

源を入れると、ポテンシャルがどう曲がるかを決める式。では、これを どう解く か。

ここで、連載をずっと貫いてきたあの手が、最後の主役として戻ってくる。たった一点の源への、一発の返事。それさえ分かっていれば、どんな源の分布でも、その返事を源の数だけ置いて、足すだけで解ける ── ④で $1/r$ を足し集めたのは、まさにこれだった。

次回、その「一発の返事」に、とうとう名前がつく。グリーン関数。$\nabla^2 G = \delta$（一点をどんと突いたときの、ポテンシャルの返事）を覚えて、源の分だけ足し合わせる。④の“中から積む扉”の、ちゃんとした正体だ。