一発の返事で、方程式を解く ── グリーン関数

前回、解きたい式の形がはっきりした ── ポアソン方程式 $\nabla^2\phi=-\rho$。源 $\rho$ を入れると、ポテンシャルの地形 $\phi$ がどう曲がるかを決める式だ。

でも、「式が立った」と「解けた」は別だよね。源がぐにゃぐにゃに広がっていたら、この式をどう解けばいいんだろう？ ── 心配いらない。解き方は、もう連載をずっと歩いてきた、あの一手そのものなんだ。

一点だけ、突いてみる

複雑な源を前に、いきなり全部を相手にするのはしんどい。そこで、いつもの作戦 ── いちばん簡単な「一点」だけ で考える。

源が、空間のたった一点に、ちょこんと置かれた“点源”だったとする。そのとき、ポテンシャルの地形はどうなるか？ ── これはもう知っている。④で見た、あの $1/r$ のすり鉢 だ。一点の源は、まわりに $1/r$ の丘（または井戸）を一つ作る。

この「一点を突いたときの、たった一発の返事」さえ分かっていれば ── あとは、ずっとやってきたこと。源を、たくさんの点の集まりだと思って、各点の返事を足す。 それだけで、どんな源分布の答えも組み上がる。

グリーン関数 ── 名前をつける

ここまで「一発の返事」「点源の返事」と呼んできたもの。連載のいちばん最初から、ずっと足し続けてきた相棒。── そろそろ、名前を呼んでいい。

グリーン関数 $G$ という。「一点をどんと突いたら、まわりにどんな返事が返ってくるか」を表す関数だ。式で書くと、方程式の右辺を“一点だけの源”（数学では $\delta$ と書く、無限に尖った一点の山）にしたとき、

$\nabla^2 G = -\delta$

を満たすもの。見た目はいかめしいけれど、言っているのは一つ ── 「一点を突いたときの、ポテンシャルの返事」 だ。$\delta$ は「一点だけの源」── 幅を限りなく細くした源で、高さは無限に尖って見えるけれど、全体として入っている量は 1 にしてある（一点に源を 1 個だけ置いた、と思えばいい）。$G$ はそれへの返事。ラプラシアン（地形の曲がり）に対するこの返事が、3次元では、ちょうど

$G \propto \frac{1}{r}$

になる。── そう、④でずっと足してきた $1/r$ は、ポアソン方程式のグリーン関数だったんだ。名前を知らずに、もう何回も使っていた。

ひとつ手すりを。ここで $G\propto 1/r$ と書いているのは、3次元の自由空間 でのポアソン方程式の返事だ。緩和ラボは見やすさのために2次元の地形として描いているので、厳密な2次元自由空間の返事（実は $\log r$ 型になる）とは、少し形が違う。でも、いま掴みたい骨は同じ ── 「一点を突くと返事が返る。その返事を、源の分だけ置いて足す」。形の細部は、ここでは気にしなくていいよ。

どんな源も、G を置いて足すだけ

グリーン関数が分かれば、解くのは“足し算”だ。源 $\rho$ を、たくさんの点に分けて、各点の上にグリーン関数 $G$ を、その点の源の強さ倍して置いて、全部足す：

$\phi(P) = \int G(P, P')\,\rho(P')\,dV'$

この式も、絵のままだ。言っているのは 「源のかけらひとつひとつに、グリーン関数の返事を置いて、全部足す」 ── それだけ。$G(P,P')$ は「$P'$ にある源が、$P$ に届ける返事」、$\rho(P')$ はそのかけらの源の強さ、$dV'$ は「源の小さなかけら」（2次元のラボなら小さな面積、3次元なら小さな体積）。── これ、見覚えがあるよね。④で書いた $\phi(P)=\int \rho/r$ と、まったく同じ式 なんだ。④の「中から積む扉」は、知らないうちに、もうグリーン関数で解いていた。

あの「一個の丘」が、グリーン関数

これ、実はもう手で触っている。緩和ラボ で、源を 1つだけ 置いたとき、まわりに立ち上がった、あの一個の丘（または井戸）── あれが、グリーン関数 $G$ そのもの だ。一点の源への、ポテンシャルの返事。（符号も一言。電場の符号で見れば、正の源は丘・負の源は井戸。重力の符号なら、ふつうの質量は井戸を作る。符号は違っても、「一点への返事を足す」という骨は同じだよ。）

そして、源を2つ3つと増やしたとき、地形がそれぞれの丘の足し算になっていったよね。あれが $\int G\rho$。源と場のラボ で $1/r$ のすり鉢を足したのも、同じこと。── つまり、この連載でずっと「触って」きたのは、最初からグリーン関数だった。今日は、その手触りに、名前を与えただけなんだ。

なぜ、これで解けるのか ── 連続版の“逆行列”

少しだけ、仕組みを覗いておく。$\nabla^2\phi=-\rho$ は、「$\phi$ に $\nabla^2$ という操作をかけると $-\rho$ になる」という形。これは、行列とベクトルの $A\vec{x}=\vec{b}$ にそっくりだ。連立方程式なら、$\vec{x}=A^{-1}\vec{b}$ ── 逆行列 をかければ解ける。

グリーン関数 $G$ は、ちょうどこの $A^{-1}$ にあたる。$\nabla^2$ という操作を“ほどく”手順を、一点ごとの返事として全部書き留めたもの。だから、源 $\rho$ に $G$ をかけて足す（積分する）と、$\phi$ が出てくる。ひとことで言ってしまえば、グリーン関数は、微分方程式の“逆行列” ── そう思うと、なぜ足し算で解けるのかが、すっと腑に落ちると思う。

そしてこの「一点への返事さえあれば、何でも足し算で解ける」は、ポアソン方程式だけの特権じゃない。グリーン関数は、線形な世界のいたる所にいる ── ② でやった回路やフィルタの インパルス応答 は、まさに時間版のグリーン関数だ。橋や梁を一点で押したときの たわみ（点荷重への返事）も、はりのグリーン関数。熱を一点にぽんと落としたときの広がり（熱核）も、量子力学で粒子が伝わる プロパゲータ も、ぜんぶ同じ ── 「$\delta$ への返事を覚えて、源の分だけ足す」。分野ごとに名前は違うのに、骨は一本だよ。

同じ式でも、枠で返事が変わる

最後に、ひとつ手すりを。グリーン関数は、境界条件で変わる。何もない広い空間に置いた一点の源の返事（自由空間の $1/r$）と、接地した箱の中に置いた一点の源の返事とでは、$G$ の形が違う。前回 の「方程式は局所のルールを言うだけ、どの地形を選ぶかは枠が決める」が、ここにも効いている ── 同じ「一点を突く」でも、まわりの枠が違えば、返ってくる返事が変わるんだ。

名づけ終えて

ここで、連載の背骨が、ひとつの言葉に畳まれる。

② で「一発の返事（インパルス応答）さえ覚えれば、どんな入力も足し算で出る」を掴んだ。④ で「源の返事を、源の数だけ足す」を見た。そして今日、その「一発の返事」に名前がついた ── グリーン関数。複雑な世界を解く手は、ずっと一つだった。一発の返事を覚えて、置いて、足す。 それだけ。

でも、ここまでは全部、時間の止まった、静かな場 の話だった。源はじっとしていて、返事は“いつでもそこにある”ものとして足してきた。── では、源が時間とともに動いたら？ 波のように、返事が 遅れて 届く世界では、この「足す」はどうなるんだろう。

次回、最後に、時間を入れる。