波は、運動方程式から生まれる ── ばね玉の鎖と、分野の境目

物理を習うと、力学・波動・電磁気・熱…と、分野ごとに章が分かれている。あの分け方は、教えやすさのための 縫い目 だと思う。便利だし、理由も分かる。でも時々、その縫い目を一本ほどいて「ほんとうは地続きだ」と確かめると、すごく気持ちがいい。

この回はそれをやる。これまで 力学 と 波動 を別々に積んできたけれど ── 波は、いちばん素朴な力学（$F=ma$）から、自然に生まれてくる。その瞬間を見よう。

① ばね玉の鎖に、ただ $F=ma$ を立てる

舞台は単純だ。同じ質量 $m$ の玉を横一列に並べ、隣どうしを同じばね（ばね定数 $k$）で繋ぐ。両端は壁に固定。各玉は、真上・真下（横向きのずれ $y$）にだけ動けるとする。

$n$ 番目の玉に働く力を考える。右の隣 $y_{n+1}$ との段差で $k(y_{n+1}-y_n)$ だけ引かれ、左の隣 $y_{n-1}$ との段差で $k(y_n-y_{n-1})$ だけ引き戻される。足すと、その玉の運動方程式は

$m\,\ddot{y}_n = k(y_{n+1}-y_n) - k(y_n-y_{n-1}) = k\,(y_{n+1} - 2y_n + y_{n-1})$

それだけ。特別なことは何もない、ただの $F=ma$ を玉の数だけ並べただけだ。右辺の $y_{n+1}-2y_n+y_{n-1}$ は「自分が、左右の平均からどれだけ出っ張っているか」を測っている。出っ張っていれば引き戻される ── ごく素朴な話。

ひとつ、おまけの正直な補足。横ずれ $y$ に対するばねの戻し力を $k(y_{n+1}-y_n)$ と書いたけれど、これは ずれが小さいときの近似 だ。本当は玉が斜めにずれると、ばねの向きや伸びは角度のぶん複雑になる。でも $y$ が玉の間隔より十分小さければ、戻し力はこの「差に比例」でよく合う ── 力学でいう “線形化”、便利でよく使う一手だよ。

下で「弾く」を押すと、真ん中の玉をつまんで離す。あとは各玉が上の式に従うだけ。なのに、全体としては波が左右に走って、壁で跳ね返る。誰も「波になれ」とは言っていないのに、$F=ma$ の集まりが自然に波として振る舞う。

② 玉を増やすと、波動方程式が出てくる

なぜ波になるのか。玉の間隔を $a$ として、$n$ 番目の玉の位置を $x = na$ とみなそう。さっきの右辺 $y_{n+1}-2y_n+y_{n-1}$ は、数値計算でおなじみの 二階微分の近似 そのものだ：

$y_{n+1} - 2y_n + y_{n-1} \;\approx\; a^2\,\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$

ここでいう「玉を増やす」は、正確には 玉の間隔 $a$ をどんどん小さくする こと。すると差分 $y_{n+1}-2y_n+y_{n-1}$ が微分 $\partial^2 y/\partial x^2$ に化ける。これ、数値計算でおなじみの 有限差分（微分を、とびとびの引き算で近似する手）を、ちょうど逆向きに辿っているんだ。

これを運動方程式に入れると、

$m\,\ddot{y} = k\,a^2\,\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = \frac{k a^2}{m}\,\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$

玉を細かくしていく（$N\to\infty$、$a\to0$）と、つぶつぶの鎖は なめらかな1本のひも になり、この式が残る。これは ── 前にやった 波動方程式 と、まったく同じ形だ：

$\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = c^2\,\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}, \qquad c = a\sqrt{\frac{k}{m}}$

$c$ が波の速さ。張った弦で言えば $c=\sqrt{T/\mu}$（$T$ は張力、$\mu$ は線密度）── 同じ形だ。「波動」という分野は、ばねと玉という純・力学から、二階微分を一つ経由しただけで出てきた。鎖のデモで $N$ を増やすほど、つぶつぶの跳ね返りがなめらかな波に近づくのは、この極限を目で見ているんだよ。

③ 鎖の固有の揺れ ＝ あの定在波

もう一つ、繋がる所がある。鎖を「弾く」のではなく、特別な形に整えて離すと、形を保ったまま、その場で上下に揺れるだけ の運動になる。これが鎖の 基準振動（ノーマルモード）。デモの「基準モード 1／2／3」がそれだ。

$N$ 個の玉・両端固定だと、基準モードの形はきれいに決まっていて、第 $j$ モードは

$y_n^{(j)} = \sin\!\frac{j\pi n}{N+1}$

これ、見覚えがあるはず ── 前編の定在波 で出てきた $\sin(kx)$ の並びと同じだ。第1モードは腹が1つ、第2モードは2つ、第3モードは3つ。固定端が節になり、半波長おきに腹が並ぶ。鎖の「固有の揺れ」と、波動の「定在波」は、同じものだった。

おまけに、その揺れの速さ（角振動数）は

$\omega_j = 2\sqrt{\frac{k}{m}}\;\left|\sin\!\frac{j\pi}{2(N+1)}\right|$

で決まる。この式、ぱっと見は込み入っているけれど、言っていることは素朴だ。長い波（$j$ が小さく、鎖がゆったりうねる）では $\sin\theta\approx\theta$ の近似が効いて $\omega_j \approx \sqrt{k/m}\cdot\frac{j\pi}{N+1}$ ── これは理想のなめらかなひも（$\omega_j = j\pi c/L$）と、ぴったり一致する。ところが 短い波（$j$ が大きく、隣どうしが激しく上下する）になると、その近似がずれて、実際の $\omega_j$ は直線から 下に曲がっていく。この「波長によって進む速さが変わる」ことを 分散 と呼ぶ。

「つぶつぶの鎖」と「なめらかなひも」の違いは、まさにここに出る。素朴なモデルが、ちゃんと自分の使える限界まで正直に教えてくれる ── そこが、私は面白いと思う。

④ 縫い目は、地続きのしるし

ここまでで、力学（$F=ma$）と波動（波動方程式）のあいだの縫い目を一本ほどいた。別々に見えていた二つは、根っこでは同じ一つのものだった ── ということだね。

そして ── ここからが、本当に驚くべきところだ ── まったく同じ波動方程式 が、まるで示し合わせたように、他の分野にも次々と顔を出す。

• 音：空気の圧力を、前の 声道の話 でやったとおり、同じ $\partial_t^2 p = c^2\,\partial_x^2 p$ で動く。
• 光・電磁波：マクスウェルの方程式を整理すると、電場・磁場が同じ波動方程式に従う。光は電磁場の波。
• 量子：シュレーディンガー方程式も「波」の式で、粒子が波として広がる。

形が同じなら、起きることも同じ ── 進む波、定在波、共鳴、反射。だから一度どこかで波を掴むと、別の分野の波も「あ、これ知ってる」になる。分野の壁は、越えられない壁じゃなくて、地続きであることのしるしみたいなものだと、私は思う。

まとめ

• 玉をばねで繋いだ鎖の各玉に、ただ $F=ma$ を立てる：$m\ddot{y}_n = k(y_{n+1}-2y_n+y_{n-1})$。
• 玉を細かくする（$N\to\infty$）と、右辺が二階微分になり、波動方程式 $\ddot{y}=c^2 y''$ が出てくる。波は力学から生まれる。
• 鎖の 基準モード $\sin\!\frac{j\pi n}{N+1}$ は、波動の 定在波 そのもの。長波長では理想のひもに一致し、短波長でずれる（分散）。
• 同じ波動方程式は、弦・音・光・量子に共通。分野の縫い目は、底が地続きだから引けるんだ。

力学のページ と 波動のページ、別々に読んできた2本が、ここで1本に繋がった。物理が分野に分かれているのは便利のためで、奥はちゃんと一つ ── そう思えると、章の切れ目が少し心地よくなると思う。